1. Nociones básicas
Figura
geométrica: concepto. Términos no definidos: punto, recta y plano.
Definiciones de segmento, rayo y ángulo. Postulados fundamentales de la
distancia, de la regla (Cantor– Dedekind), de la recta, de la medida de
un ángulo, de la construcción de un ángulo, de la adición de ángulos y
del suplemento. Conjuntos convexos y no convexos: definición,
partición de un conjunto, postulado de la separación de puntos de un
plano, intersección de conjuntos convexos. Ángulos: bisectriz de un
ángulo, clases de ángulos y teoremas fundamentales.
2. Triángulos
Definición,
clasificación. Teoremas fundamentales: suma de las medidas de los
ángulos internos, medida del ángulo externo, correspondencias entre
ángulos y lados, desigualdad triangular. Congruencia de triángulos: idea
de correspondencia biunívoca, postulados de la congruencia (LLL, LAL,
ALA). Aplicaciones de la congruencia: teorema de la bisectriz de un
ángulo, teorema de la mediatriz de un segmento, teorema de la mediana de
un triángulo rectángulo, teorema de la base media.
3. Polígonos
Definición,
clasificación. Teoremas fundamentales: suma de las medidas de los
ángulos internos, suma de las medidas de los ángulos externos, número de
diagonales de un polígono convexo, número de diagonales medias.
Cuadriláteros: definición, clasificación, teoremas sobre paralelogramos,
trapecios y trapezoides.
4. Circunferencia
Definición,
elementos. Teoremas fundamentales: radio perpendicular a la tangente,
radio perpendicular a una cuerda, arcos comprendidos entre cuerdas
paralelas. Posiciones relativas entre dos circunferencias. Tangentes
comunes a dos circunferencias. Teorema de Poncelet. Cuadrilátero
circunscrito y circunscriptible. Teorema de Pitot. Cuadrilátero ex
inscrito y ex inscriptible. Teorema de Steiner. Ángulos en la
circunferencia: ángulo central (medida en grados de un arco), ángulo
inscrito, ángulo seminscrito, ángulo ex inscrito, ángulo interior,
ángulo exterior. Arco capaz de un ángulo. Teoremas sobre cuadriláteros
inscrito e inscriptible.
5. Proporcionalidad
Teorema
de las equiparalelas. Teorema de Thales. Teorema de los segmentos
determinados por las bisectrices interior y exterior de un triángulo.
Teorema del incentro. Teorema de Menelao. Teorema de Ceva. Semejanza de
triángulos: definición y casos. Puntos notables de un triángulo. Recta y
circunferencia de Euler.
6. Relaciones métricas en un triángulo
Relaciones
métricas en el triángulo rectángulo. Teorema de Pitágoras y
aplicaciones. Relaciones métricas en el triángulo oblicuángulo: teorema
de las proyecciones, teorema de la mediana, teorema de la ceviana
(teorema de Stewart), teorema de Herón, teorema de Euler en los
cuadriláteros.
7. Relaciones métricas en la circunferencia
Teorema
de la tangente. Teorema de las secantes. Teorema de las cuerdas.
Teorema del triángulo inscrito. Teorema de la longitud de la bisectriz
interior y exterior. Teorema de Ptolomeo. Teorema de Viette.
8. Polígonos regulares convexos
Definiciones:
ángulo central, apotema de un polígono regular. Fórmula del apotema.
Fórmula del lado del polígono inscrito de doble número de lados.
Polígonos regulares notables inscritos (n = 3, 4, 6, 8, 12 lados)
División de un segmento en media y extrema razón. Número áureo.
Polígonos regulares notables inscritos de 5 y 10 lados. Polígonos
isoperímetros. Simetría en el plano con respecto a un punto y a una
recta.
9. Longitud de la circunferencia
Proporcionalidad
entre la longitud de la circunferencia y la longitud del diámetro.
Definición del número”. Cálculo aproximado del número " por el método de
los perímetros. Determinación analítica y gráfica de la longitud de la
circunferencia. Longitud de un arco de circunferencia.
10.Áreas de regiones poligonales
Postulados
fundamentales. Áreas de las regiones: rectangular, paralelográmica,
triangular y trapecial. Área de una región triangular: en función de los
tres lados, en función del inradio, en función del circunradio, en
función del ex-radio relativo a un lado. Relación entre áreas de
regiones triangulares: triángulos de alturas congruentes y diferentes
bases, triángulos semejantes, triángulos con un ángulo congruente o con
un ángulo suplementario. Áreas de regiones cuadrangulares: área de las
regiones rómbica y trapezoidal. Relaciones entre áreas de regiones
cuadrangulares. Área de regiones circulares: área del círculo, área del
sector circular, área del segmento circular, área de la lúnula
circular, área de la hoja circular, área de la corona circular, área
del trapecio circular.
11. Elementos de geometría del espacio
Postulados
fundamentales. Determinación de un plano. Posiciones relativas de
rectas y planos en el espacio. Ángulo entre dos rectas que se cruzan.
Recta perpendicular a un plano. Teorema de las tres perpendiculares.
Planos perpendiculares. Menor distancia entre rectas cruzadas. Teorema
de Thales en el espacio.
12.Ángulos diedros
Definición,
elementos, notación. Ángulo plano o rectilíneo y medida de un ángulo
diedro. Proyección ortogonal de una recta sobre un plano. Ángulo entre
recta y plano. Proyección ortogonal de un segmento y de una región
poligonal sobre un plano.
13.Ángulos sólidos o ángulos poliedros
Definición,
elementos, notación. Teorema sobre la suma de las medidas de sus
caras. Ángulo triedro: definición, elementos, notación y clasificación.
Teoremas fundamentales: suma de las medidas de las caras, desigualdad
triangular, suma de medidas de los ángulos diedros y correspondencia
entre las caras y los diedros. Ángulo triedro polar.
14. Poliedros geométricos
Definición,
elementos. Clasificación: poliedros convexos y no convexos. Teorema de
Euler. Teorema de la suma de medidas de los ángulos internos de las
caras de un poliedro convexo. Teorema de existencia de los cinco
poliedros regulares convexos. Poliedros regulares conjugados.
Características principales de los poliedros regulares. Simetría en el
espacio: simetría con respecto a un punto, con respecto a una recta y
con respecto a un plano.
15. Prisma
Superficie
prismática: definición. Prisma: definición, elementos, notación.
Clasificación: prisma recto, prisma oblicuo, prisma regular. Sección
transversal y sección recta de un prisma. Desarrollo de la superficie
lateral de un prisma. Paralelepípedo: clasificación, propiedades
fundamentales. Plano diagonal. Área lateral y total de un prisma.
Volumen de un prisma. Tronco de prisma triangular recto y oblicuo: área y
volumen.
16. Pirámide
Superficie
piramidal: definición. Pirámide: definición, elementos, notación.
Pirámide regular: apotema y desarrollo. Área lateral y total de una
pirámide regular. Volumen de cualquier pirámide. Tronco de pirámide.
Tronco de pirámide regular. Apotema y desarrollo de la superficie
lateral de un tronco de pirámide regular. Área lateral y total del
tronco de pirámide regular. Volumen de cualquier tronco de pirámide.
Prismoide.
17. Cilindro
Superficie
cilíndrica: definición. Cilindro de revolución: definición, elementos.
Cilindro oblicuo. Desarrollos del cilindro recto y del cilindro
oblicuo. Área lateral, total y volumen de un cilindro. Tronco de
cilindro recto y oblicuo de sección recta circular: desarrollo, áreas
lateral, total y volumen. Postulado de Cavalieri.
18. Cono
Superficie
cónica: definición. Cono de revolución: definición, elementos, cono
oblicuo. Desarrollos del cono recto y del cono oblicuo. Área lateral,
total y volumen de un cono. Tronco de cono de revolución: desarrollo,
áreas lateral, total y volumen.
19. Esfera
Superficie
esférica: Definición. Circunferencia máxima y circunferencia menor.
Área de la superficie generada por un segmento de recta y por una línea
poligonal regular que giran alrededor de un eje. Zona esférica.
Casquete esférico. Área de la superficie esférica. Huso esférico.
Esfera: definición. Volumen del sólido generado por la rotación de una
región triangular y de una región poligonal regular alrededor de un
eje. Volumen de un sector esférico y de la esfera. Partes de la esfera:
cuña esférica, anillo esférico, segmento esférico. Teorema de Pappus.
