Cinemática de una partícula: movimiento en una dimensión

Introducción 

Con el análisis de la cinemática de una partícula se inicia el estudio de la mecánica, la mas antigua de las ciencias físicas. Cuando se describe el movimiento, nos referimos a la parte de la mecánica denominada cinemática (término griego para referirse al movimiento), vale decir que se encarga del estudio del movimiento de los objetos.
Se entiende por una dimensión a los movimientos en un linea recta, puede ser el eje de las x o y del sistema cartesiano de coordenadas, para extender la explicación hacemos uso de dos dimensiones en algunos casos.

1. Sistema de referencia: trayectoria, sistema coordenado. 
Es necesario un lugar desde donde hacer nuestras medidas, osea ubicarnos en un punto desde el cual vamos a a observar y hacer mediciones, ya sea la distancia, velocidad, aceleración, etc. Entonces necesitamos un punto y un sistema de ejes para establecer nuestro sistema de referencia, existen varios sistemas de ejes estos se verán mas adelante.
Trayectoria.- Es aquella linea por donde se desplaza una partícula, cuando una partícula se traslada de un lugar a otro lo hace describiendo cierto un camino, a este se le conoce como trayectoria, es de imaginar que existen diversos tipos: como la trayectoria parabólica (se estudia mas adelante), trayectoria curvilínea, circular,  elíptica, rectilínea  etc.

Sistema coordenado.- Se refiere al sistema de ejes o sistema de coordenadas, podemos a través de este describir trayectorias de una partícula, nos permite determinar la ubicación de una partícula en el plano o en el espacio, en la figura se muestra el sistema de coordenadas cartesianas, debido a que se dispone de tres ejes (x,y,z). Se caracteriza porque sus ejes se interceptan formado 90º, la ubicación de un punto en el plano (coordenadas cartesianas), se determinan a partir de la distancias (proyecciones) en el eje x,y.
También existen otros tipos de coordenadas, como las polares, cilíndricas, esféricas, etc.
Nota: Para la trayectoria también encontraras esta definición, el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va ocupando la partícula en su movimiento.
La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René Descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez.

Fuente: Coordenadas Cartesianas

2. Definición de vector posición
La posición es una de las magnitudes que se pueden representar como un vector, entonces mediante un vector posición se representa la posición de un punto. Comúnmente se utiliza la letra r  para su representación. En la figura se aprecia el vector posición de una partícula en el sistema de coordenadas cartesianas. Es importante precisar que el vector posición no depende del sistema de referencia.


 Fuente: Posición

 3. Desplazamiento
Es el cambio de posición de una partícula, que ocurre en un intervalo de tiempo establecido, para nuestro estudio vamos a considerar ese desplazamiento como el vector que va dirigido desde el punto inicial al final de la trayectoria. Entonces hablaremos de vector posición. Al referirnos al desplazamiento solo nos importa la posición inicial y final de una partícula.
Vector desplazamiento (verde) y distancia recorrida (fucsia, morado o purpura) a lo largo de un camino.

Nota: El desplazamiento es una cantidad que no depende del sistema de referencia. 

 Fuente: Desplazamiento

4. Distancia
Como puedes observa en la figura anterior la distancia es el espacio total recorrido, por ser medida en metros (SI) esta quedará bien definida con su magnitud y su unidad. Por tanto es una magnitud escalar.

5. Velocidad media
También denominada velocidad promedio, en principio es una magnitud de tipo vectorial porque posee dirección y sentido. su valor viene expresado por la razón entre el vector desplazamiento ó cambio de posición (Δr) y el intervalo de tiempo (Δt) trascurrido. La unidades están dadas en m/s, para el SI.

\mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}

6. Velocidad instantánea
La velocidad instantánea nos permite conocer la velocidad de una partícula a cada instante de su movimiento, osea cuando el intervalos de tiempo sea bien pequeño. tan pequeño que su vector desplazamiento sea un punto, lo que origina que la velocidad instantánea sea tangente a la trayectoria.

\mathbf v= \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \mathbf r}{\Delta t} = \frac {d{\mathbf r}}{dt}


 Nota: No te asustes, pero debo colocar esto, cuando lleves cursos avanzados me  darás  la razón si recién empiezas puedes omitirlo.

 La velocidad sera entonces la derivada del vector posición respecto al tiempo.

\mathbf v= \frac {ds}{dt} \ \mathbf u_t = \frac {d{\mathbf r}}{dt}

donde \mathbf u_t es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y \mathbf r es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

Fuente: Velocidad

7. Rapidez media ó promedio ( Velocidad media sobre la trayectoria- Velocidad media numérica)
Esta se mide considerando la distancia o espacio recorrido (Δs) sobre un intervalo de tiempo. Por esta razón es una cantidad escalar.

v = \frac{\Delta s}{\Delta t}

Nota: Te has dado cuenta la diferentes maneras de catalogar a esta rapidez, tal ves por esto se induce al error muchas veces.
Normalmente el módulo de la velocidad media y la rapidez media son diferentes, solo en el caso de una trayectoria rectilínea y cuando un móvil avance sin retroceder podrían considerarse iguales.

 7. Rapidez o celeridad
Es el módulo o valor de la velocidad, ya sea la velocidad media, rapidez media o velocidad instantánea. En el caso de que la trayectoria sea rectilínea los módulos de la rapidez promedio y velocidad media son iguales.
Ahora la rapidez de la velocidad instantánea lo puedes observar cuando viajas en un auto y observar el velocímetro, este marca diferentes valores en cada instante, como observas solo me da un número, no me dice nada de su dirección o sentido por eso que la rapidez en una magnitud escalar.

8. Aceleración media 
Definamos en física que es la aceleración, es una propiedad del movimiento, esta es de tipo vectorial que representa la variación de la velocidad por unidad de tiempo, cuya unidad en el SI, es el m/s2. y se representa mediante \vec a \, y su modulo a \,.
Ahora la aceleración media se define como la razón de la variación de la velocidad respecto a un intervalo de tiempo.
<\mathbf a>= \mathbf{\bar{a}}= \frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t}

9. Aceleración instantánea
Cuando se requiere conocer la aceleración a cada instante de un partícula  hacemos que el intervalo de tiempo sea cada vez mas pequeño.

\mathbf{a}= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t} = \frac{d \mathbf v}{dt}

Características: Notese que la aceleración de una partícula en este caso no es tangente a la trayectoria.



Fuente: Aceleración
10. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU): análisis e interpretación de gráficos
Se trata de el movimiento mas simple que podemos analizar, la partícula se desplaza en linea recta y con velocidad constante, en este tipo de movimiento solo haremos uso de una formula:
Este movimiento viene gobernado por estas formulas. v: velocidad, d: distancia, t: tiempo.


 

Gráficos
En este caso asumimos x como la distancia, entonces podemos escribir la ecuacion de la siguiente forma x=vt, como la velocidad es constante, en este caso se considera como la pendiente de esta ecuación.
Distancia (x) & tiempo:   x=vt.                                                                   Velocidad & tiempo: v=cte



Otro enfoque de lo mismo.



11. Movimiento rectilíneo uniformemente variado o acelerado(MRUV): ecuaciones y análisis e interpretación de gráficos

Aquí el movimiento es también en linea recta pero la velocidad va a cambiar produciendo una aceleración constante. las ecuaciones del movimiento se muestran a continuación.

 Donde:
d = distancia o espacio recorrido           
t = tiempo transcurrido       
Vo = velocidad inicial           
V = velocidad final
a = aceleración


Gráficos
en la figura se muestra la distancia(x), velocidad y aceleración versus el tiempo. estas gráficas se deducen delas ecuaciones anteriores, dependiendo de los ejercicios y condiciones iniciales estas pueden variar.




Demostración de las ecuaciones de movimiento y gráficos





12. Caída libre
Este movimiento se ve afectado por la fuerza de gravedad, cuando un cuerpo se suelta a cierta altura respecto ala tierra, la aceleración en este caso sera la gravedad de la tierra, es bueno precisar que en muchos casos para el análisis  no se consideran las fuerzas externas como la resistencia del aire, osea el estudio se asumirá en el vacío.

 Las ecuaciones del movimiento son similares a los de MRUV, considerando el movimiento en el eje y, la aceleración es la gravedad, nos quedaría de esta forma.
\begin{matrix} v_y(t)= v_0 - gt \\ y(t) = h_0 + v_0t -\frac{1}{2}gt^2 \end{matrix}

Publicado por Unknown

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)

RSS

follow us in feedly